いよいよ北京五輪が始まりますね。みなさんの注目競技はなんですか？
フィギアスケート、ジャンプなどの花形競技の他に、ロコ・ソラーレのカーリングに注目という方も結構いるのではないでしょうか？競技は氷の張ったリンクの上でストーンを投げて得点を競います。詳細なルールはやや複雑なこともあり割愛しますが、氷上のチェスと言われるなど、頭脳戦の一面もあり見ていて楽しいスポーツとなっています。
ブランクエンドの存在
このカーリングで以前から気になっていたことがあり研究をしてみました。
それは「ブランクエンドの有効性」で、とくに終盤（８エンド以降）におけるものです。カーリングは得点をとったチームが次のエンドは不利な先行、得点を取られたチームが有利な後攻になるというルールなので、後攻のチームがで１点とることができるのにわざと０点にする「ブランクエンド」を選び、次のエンドでも後攻をとるという作戦があります。
カーリングは基本的には全１０エンドですが、同点の場合１１エンド（エキストラエンド）という延長戦に入ります。まず、９エンド後攻チームのブランクエンド作戦について考察してみることにします。
９エンド後攻でのブランクエンド
まず、下記の前提条件をおきました。
・８エンドまで同点
・９エンドの後攻チームがラストストーンをこれから投げる
・ハウスに石が無い状態など、１点とるかブランクエンド（０点）にするかを後攻チームが選択できる
実はこのような場合には、ブランクエンド（０点）を選択して１０エンド後攻を取った方が有利といわれています。では実際にシミュレーションをして確認してみたいと思います。
後攻チームの得点期待値をこのように仮定します。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２
複数点は２点以上の場合もありますが、まれなので、２点の場合のみで期待値を計算することにします。また、後攻チームがブランクエンドを選択できる可能性もあるのですが、その可能性は考えません。
上記の場合に先行チームの得点期待値はこのようになります。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２
９エンドで１点取った場合
まず、後攻チームが９エンドで１点取った場合を考えます。
１０エンドは先行となるので期待値とゲームの勝ち負けはこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％ ＝０．２ 勝ち
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％ ＝０．６ 同点でエキストラエンドへ
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％ ＝０．２ 負け
１１エンドは後攻なのでその場合の期待値を考えます。
－１点（先行チームの得点） 確率０．６×２０％＝０．１２ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率０．６×６０％＝０．３６ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率０．６×２０％＝０．１２ 勝ち
これで、全ての場合が計算できたので、勝ちと負けの場合を合計します。
勝ち＝０．２+０．３６+０．１２＝０．６８
負け＝０．２+０．１２＝０．３２
このように、９エンドで後攻チームが１点とると、ゲームの勝敗は６８％で勝ち、３２％で負けとなります。
９エンドをブランクエンドとした場合
では、次に９エンドをブランクエンドとした場合の期待値を考えます。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％ ＝０．２ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％ ＝０．６ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率２０％ ＝０．２ 勝ち
このように９エンドをブランクエンドとすると、ゲームの勝敗は８０％で勝ち、２０％で負けとなります。
先ほどの９エンドで１点取った場合と比べるとゲームに勝つ確率が６８→８０％に上がりました。
よって、９エンドで後攻のチームがブランクエンドを選択できる場合にはブランクエンドとした方が良いことがわかりました。
８エンド後攻でのブランクエンド
９エンド後攻の場合はブランクエンドが勝ることがわかりましたが、８エンド後攻の場合はどうでしょうか？実は以前から確かめたかったのはこのパターンです。まず、前提条件は下記とします。
・７エンドまで同点
・８エンドの後攻チームがラストストーンをこれから投げる
・ハウスに石が無い状態など、１点とるかブランクエンド（０点）にするかを後攻チームが選択できる
また、後攻チームの得点期待値をこのように仮定します。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２
８エンドで1点取った場合
まず、後攻チームが８エンドで１点取った場合を考えます。
９エンドは先行となるので期待値はこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２
９エンド先行で１点取る（スチール）と、１０エンドが先行で期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 勝ち
－１点（後攻チームの複数点）確率６０％＝０．２×０．６＝０．１２ 勝ち
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ １１エンドへ
１１エンドは後攻なので期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．０４×０．２＝０．００８ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．０４×０．６＝０．０２４ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．０４×０．２＝０．００８ 勝ち
以上より、８エンド１点、９エンド1点とる（スチール）場合の確率は 勝ち１９．２％、負け０．８％です。
続いて、９エンド先行で１点取られて、１０エンドが後攻の期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．６×０．２＝０．１２ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６×０．６＝０．３６ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．６×０．２＝０．１２ 勝ち
以上より、８エンド１点、９エンドで1点とられるの場合の確率は 勝ち４８％、負け１２％です。
続いて、９エンド先行で２点とられて、１０エンドが後攻の期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．２×０．６＝０．１２ １１エンドへ
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 勝ち
１１エンドは先行なので期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．１２×０．２＝０．０２４ 勝ち
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．１２×０．６＝０．０７２ 負け
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．０４×０．２＝０．０２４ 負け
以上より、８エンド１点、９エンド２点取られる場合の確率は 勝ち６．４％、負け１３．６％です。
これらを合計すると、８エンドで１点取った場合のゲームに勝てる確率がわかります。
８エンドで１点取った場合では、勝ち７３．６％、負け２６．４％となります。
８エンドをブランクエンドとした場合
９エンドは後攻となるので期待値はこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２
９エンド後攻で１点取られる（スチール）と、１０エンドは後攻で期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 負け
１点（後攻チームの複数点）確率６０％＝０．２×０．６＝０．１２ １１エンドへ
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 勝ち
１１エンドは先行なので期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．１２×０．２＝０．０２４ 勝ち
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．１２×０．６＝０．０７２ 負け
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．１２×０．２＝０．０２４ 負け
以上より、８エンドブランク、９エンドで1点とられる（スチール）場合の確率は
勝ち６．４％、負け１３．６％です。
続いて、９エンド後攻で１点取り、１０エンドが先行の期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．６×０．２＝０．１２ 勝ち
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．６×０．６＝０．３６ １１エンドへ
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．６×０．２＝０．１２ 負け
１１エンドは後攻なので期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．３６×０．２＝０．０７２ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．３６×０．６＝０．２１６ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．３６×０．２＝０．０７２ 勝ち
以上より、８エンドブランク、９エンドで1点とる場合の確率は 勝ち４０．８％、負け１９．２％です。
続いて、９エンド後攻で２点とり、１０エンドが先行の期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ 勝ち
－１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．２×０．６＝０．１２ 勝ち
－２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．２×０．２＝０．０４ １１エンドへ
１１エンドは後攻なので期待値とゲームの勝ち負けがこちらです。
－１点（先行チームの得点） 確率２０％＝０．０４×０．２＝０．００８ 負け
１点（後攻チームの得点） 確率６０％＝０．０４×０．６＝０．０２４ 勝ち
２点（後攻チームの複数点）確率２０％＝０．０４×０．２＝０．００８ 勝ち
以上より、８エンドブランク、９エンド２点取る場合の確率は 勝ち１９．２％、負け０．８％です。
これらを合計すると、８エンドブランクの場合のゲームに勝てる確率がわかります。
８エンドでブランクの場合では、勝ち６６．４％、負け３３．６％となります。
これらの結果より、８エンド後攻でブランクを選択できる場合では、１点取ったほうがゲームに勝つ確率が
６６．４→７３．６％に約８ポイントもアップすることがわかりました。スッキリしました。
このシミュレーションはでは、２点以上の複数得点やブランクエンド選択の可能性を見ていない、先行ゲームの得点確率が十分検証されていないなどの問題がありますが、この場合それらはあまり大きな問題ではなく、数値を統計値などに変更してシミュレーションをしても同じ結果になるの可能性が高いと思います。
同点の８エンドでブランクエンドを選ぶべきか否かについて、解説者も解説に苦慮していた記憶があるのですが、「同点の８エンドでブランクエンドが選択できる場合には１点取るべし」でお願いしたいと思います。
